Erwin Schrödinger fue uno de los grandes físicos del siglo XX. Su trabajo, junto al de sus coetáneos, nos ha ayudado a comprender el funcionamiento interno de nuestro mundo como nunca hubiésemos llegado a imaginar. Su mayor contribución, la ecuación que recibe su nombre, describe la evolución de ondas cuánticas en el tejido espacio-temporal. Este post se dedica a explorarla, y tratar de entender el método que Schrödinger siguió para obtenerla.

A nivel fundamental, nuestro universo está formado por partículas, pero esas partículas no se comportan como los físicos clásicos esperaban. A veces tienen una posición casi concreta, otras, no. Si uno sabe dónde están, no puede saber cómo de rápido se están deplazando [1]. Tienen propiedades extrañas, como el espín [2], sin relación con nuestro mundo físico macroscópico. En definitiva, el mundo micro es tremendamente distinto del mundo macro, por lo que la ciencia que lo estudia también ha de serlo, la física cuántica.

Parte de la complejidad de los sistemas cuánticos (que merecería otro artículo por separado) es que nos vemos forzados a describirlos como ondas de probabilidad en el fluído del espacio-tiempo. La idea es la siguiente: las partículas, en vez de ser partículas, son ondas \(\Psi(x, t)\), y cuanto más “alta” (o “baja”) es la onda en un lugar, más probabilidades hay de encontrar ahí la partícula al “mirarla”:

\begin{equation} P(x_1, x_2, t) = \int_{x_1}^{x_2} \Psi(x,t)^2 dx \end{equation}

La ecuación de Schrödinger nos dice como se propagan esas ondas por el espacio y el tiempo, de manera similar a como las ondas de agua se propagan por un lago tras tirar una piedra. Schrödinger decidió llamar a las ondas \(\Psi(x,t)\) para el caso unidimensional, con \(x\) siendo la posición y \(t\) siendo el tiempo, y estableció que todas debían de ser de la forma:

\begin{equation} \Psi(x,t) = Ae^{i(kx-wt)} \end{equation}

No puedo decir cómo llegó a esa fórmula, pero la cosa es que funciona, sobretodo porque al combinar varias de esas ondas se forma una nueva onda que sigue siendo válida (\(\Psi (x,t)=\alpha_1\psi_1(x,t)+\alpha_2\psi_2(x,t)+\cdots+\alpha_n\psi_n(x,t)\)), lo que permite desglosar ondas complejas (en el sentido literal) en una combinación de otras más simples.

Nótese la aparición de la constante imaginaria \(i\) en las definición de la función de onda. Es por eso que en \((1)\) tenemos \(\Psi^2(x,t)=\Psi(x,t)^*\Psi(x,t)\) y no \(\Psi^2(x,t)=\Psi (x,t)\Psi(x,t)\). La mecánica cuántica lidia con probabilidades sobre los números complejos, una especie de generalización de la probabilidad estándar sobre los reales [3], en la cual la interferencia puede ser constructiva o destructiva.

Obteniendo la ecuación

Antes de pasar a con los pasos como tal, vamos a realizar un poco de trabajo previo sobre la fórmula \((2)\), obteniendo su primera y segunda derivada con respecto a la posición, y su primera derivada con respecto al tiempo. Estas derivadas serán de gran importancia más adelante, así que se recomienda recordarlas:

1. Derivada con respecto a la posición:

   \[\frac{\partial}{\partial x}\Psi(x,t) = ik\Psi(x,t)\]

2. Segunda derivada con respecto a la posición:

   \begin{equation} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) = -k^2\Psi(x,t) \end{equation}

3. Derivada con respecto al tiempo:

   \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = -iw\Psi(x,t) \end{equation}

Y con esto hecho, comenzamos el proceso de obtención que, seguramente, empleó el propio Erwin Schrödinger para llegar a su formulación. La verdad es que los pasos concretos son un misterio, que en palabras de Richard Feynman, otro físico de renombre galardonado con el premio Nobel: “¿De dónde hemos sacado eso? No es posible derivarla de nada que conozcas. Salió de la mente de Schrödinger” [4].

1. Primero, partimos de la ecuación de Einstein y Plank (missing reference), una de las ecuaciones fundacionales de la mecánica cuántica, que describe la energía de los fotones (donde \(h\) es la constante de Plank un número muy pequeño, y \(f\) la frecuencia):

   \[E=hf\]

   Insertamos en esa ecuación la frecuencia angular, \(w=2\pi f\), obteniendo:

   \[E=\frac{h}{2\pi}w\]

   Como esto es difícil de escribir, sustituimos usando la constante de Plank reducida, \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\), dejando solo:

   \begin{equation} E=\hbar w \end{equation}

2. Después introducimos la presión de la radiación \(p=\frac{E}{c}\)¹ y sustituimos en esta la fórmula anterior:

   \[p=\frac{\hbar w}{c}\]

3. A continuación, “deshacemos” el primer paso sustituyendo \(w\) por \(2\pi f\) de nuevo, obteniendo \(p=\frac{\hbar 2\pi f}{c}\). Sobre dicha fórmula aplicamos \(f=\frac{c}{\lambda}\), que es trivial, ya que la frecuencia de una onda de luz (\(f\)) será la velocidad a la que se propaga (\(c\), porque se está tratando con electrones y fotones) dividida por el tiempo que tarda en realizar una oscilación (\(\lambda\)):

   \[p=\hbar \frac{2\pi}{\lambda}\]

   Ahora aplicamos \(k=\frac{2\pi}{\lambda}\), que es la fórmula del número de onda. El resultado final es conocido como la relación de De Broglie:

   \begin{equation} p=\hbar k \end{equation}

4. Saltando a un tema en principio poco relacionado, empleamos la fórmula alternativa de la energía cinética \(T=\frac{p^2}{2m}\), sobre la que sustituimos la relación de De Broglie \((6)\) obteniendo:

   \begin{equation} T=\frac{\hbar^2k^2}{2m} \end{equation}

   Si la energía total de un sistema es la suma de la energía potencia y la energía cinética (\(E=T+V\)), entonces en este caso con \((7)\):

   \begin{equation} E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}+V \end{equation}

5. Ahora toca emplear las derivadas de la función de onda obtenidas con anterioridad. Despejamos \(k^2\) de \((3)\), lo que, sustituyendo en \((8)\), nos lleva a:

   \begin{equation} E = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\Psi(x,t)}\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V \end{equation}

6. Hacemos lo mismo sobre \((5)\), pero sustituyendo \(w\) por el valor despejado de \((4)\), obteniendo:

   \[E = \hbar\frac{1}{-i\Psi(x,t)}\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}\]

   Para hacer más bonita esta fórmula, se aplica \(\frac{1}{-i}=i\):

   \begin{equation} E=i\hbar\frac{1}{\Psi(x,t)}\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t} \end{equation}

7. Dado que \((9)\) y \((10)\) dan definiciones alternativas para \(E\), resta igualar sus lados derechos:

   \[i\hbar\frac{1}{\Psi(x,t)}\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2} {2m}\frac{1}{\Psi(x,t)}\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V\]

   Como último paso, se multiplica todo por \(\Psi(x,t)\) para quitar esos \(\frac{1} {\Psi(x,t)}\) tan molestos que aparecen a ambos lados de la ecuación.

El resultado final del proceso es la forma común de la ecuación de Schrödinger unidimensional dependiente del tiempo para el caso:

Esta ecuación es simplificable, empleando el operador Hamiltoniano (\(\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V\)) y notación de punto. Con ambos, la ecuación de Schrödinger unidimensional dependiente del tiempo se vuelve:

Que es mucho más fácil de escribir, manejar y recordar.

Conclusiones

Como se puede observar, el proceso de derivación de la ecuación de Schrödinger no es obvio, y durante el mismo se realizan muchas suposiciones que no necesariamente deberían ser válidas físicamente, pero lo son. Lo cierto es que la ecuación ha sido probada una y otra vez, contrastándola con los datos empíricos obtenidos de las mediciones en un intento de encontrarle pegas. Todos los esfuerzos fracasaron. La ecuación siempre se alza victoriosa frente al duro juicio de la realidad.

Es por eso que la ecuación de Schrödinger es un milagro, como dijo Feynman, salido de la mente de su creador. Se asemeja más a una obra de arte, en la que el artista expresa lo que tiene en mente sobre un lienzo, que a un descubrimiento físico o matemático, con pasos claros, demostrables y bien definidos. En este caso, el lienzo no muestra la imagen de un amanecer, una familia real o una despedida, nuestro artista se conformó con mostrarnos cómo se propagan las ondas cuánticas de probabilidad sobre el tejido espacio-temporal. El tiempo dirá si esta seguirá siendo la mejor forma de llevar a cabo la tarea, pero mientras no haya grandes revoluciones en la física (como ha sido el caso de los últimos cincuenta años) esta ecuación seguirá siendo uno de los pilares de nuestro entendimiento de lo pequeño, el discreto mundo de la mecánica cuántica.

Bibliografía

D. A. Fleisch, A student’s guide to the Schrödinger equation. Cambridge New York, NY Port Melbourne, Australia$New Delhi, India Singapore: Cambridge University Press, 2020. doi: 10.1017/9781108834735.

M. Á. Sabadell, Feynman, la electrodinámica cuántica: cuando un fotón conoce a un electrón. Barcelona: RBA, 2012.

R. P. Feynman, R. B. Leighton, y M. L. Sands, The Feynman lectures on physics, New millennium ed. New York: Basic Books, 2011.

Referencias

1. [1]W. Heisenberg, «Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen»., Zeitschrift für Physik, vol. 33, n.º 1, pp. 879-893, dic. 1925, doi: 10.1007/BF01328377.

2. [2]W. Pauli, «Über den Einfluß der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse auf den Zeemaneffekt», Zeitschrift für Physik, vol. 31, n.º 1, pp. 373-385, feb. 1925, doi: 10.1007/BF02980592.

3. [3]S. Aaronson, Quantum computing since Democritus. Cambridge: Cambridge university press, 2013.

4. [4]R. P. Feynman, R. B. Leighton, y M. L. Sands, The Feynman lectures on physics, New millennium ed. New York: Basic Books, 2011.

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